y=ax^2+bx+c(A>0)与x轴交于点A(-3,0),B(1,0)两点

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 17:01:33
与Y轴交于C点,顶点为D,三角形BCD中CD边上的高为H,三角形ABC的重心为G.
当角ACB不大于90度是,记三角形AGB的面积为S,求H/S的最大值,,高分求解

y=a(x+3)(x-1)=ax^2+2ax-3a
对称轴x=-1
C(0,-3a) D(-1,-4a)
直线CD: y=ax-3a
所以B到直线CD距离=2a/根号（a^2+1）
由于G是ACB的重心，所以G的纵坐标是1/3(0+0+-3a)=-a
所以三角形AGB的面积S=1/2 *a*4=2a
H/S=1/根号(a^2+1)
这里，要求角ACB小于等于90°。所以AC^2+BC^2>=AB^2
即[3^2+(-3a)^2]+[1^2+(-3a)^2]>=4^2
解上面这个不等式
得到a的范围：a^2>=1/3
所以H/S<=1/根号（4/3）=(根号3)/2

由于A（-3，0），B（1，0），
故可设抛物线为y=a(x+3)(x-1)=ax^2+2ax-3a，
故C（0，-3a)，D（-1,-4a),
故CD直线方程为y=ax-3a，
三角形BCD中CD边上的高为H即为B到直线CD的距离，
故H=2a/(a^2+1)^0.5
而A(-3，0），B（1，0），c(0,-3a),
故G（-2/3,-a),故S=（1+3）×a/2=2a,
由于角ACB不大于90度，故CA向量与CB向量的积不小于0，
故9a^2-3>=0.
H/S=1/（a^+1）^0.5,当a^2越小时，H/S越大，
故H/S的最大值=(3^0.5)/2